HDU 1568 Fibonacci

  • 2018-08-07
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题目:

2007年到来了。经过2006年一年的修炼,数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来,CodeStar决定要考考他,于是每问他一个数字,他就要把答案说出来,不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了,可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input:

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000),每个数字一行。读到文件尾。

Output:

输出f[n]的前4个数字(若不足4个数字,就全部输出)。

Sample Input:

0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40

Sample Output:

0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023

题目链接

题目需要利用斐波那契数列通项公式(又称“比内公式”)求得,斐波那契通项公式:

Fib(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\times [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]

公式具体推导过程看百度百科:

斐波那契数列

由于通项公式在n较小时精度较低且n<21Fib(n)也仅仅只有四位数,所以当n<21时利用递推式求解,当n>20时再利用通项公式求解,利用对数求数字前4位的方法具体参考

HDU 1060 Leftmost Digit

由于Fib(n)数据很大,所以先转换通项公式后取对数。

Fib(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\times [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]

\therefore Fib(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\times [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\times \frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^{n}]

\therefore Fib(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\times (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}\times [1-(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^{n}]

\therefore log_{10}{Fib(n)}=log_{10}{\frac{1}{\sqrt{5}}\times (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}\times [1-(\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}})^{n}]}

\therefore log_{10}{Fib(n)}\approx log_{10}{\frac{1}{\sqrt{5}}} + n\times log_{10}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}

AC代码:

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